Отрывок из книги Сергея Галкина “Охота на букмекера”

 

СТАТИСТИКА ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

 

Технари и гуманитарии

Перво-наперво немного пофилософствуем. Существует расхожее мнение, что для успеха в ставках необходим технический склад ума. Уважаемые математики и физики - я категорически не согласен. Наоборот, мышление успешного игрока должно быть скорее гуманитарным, игроку вовсе не нужно уметь самому выводить мудреные формулы. У меня как раз такой случай. Доказательства теорем меня всегда вводили в уныние, а процесс движения электрического тока к розетке для меня вообще не постижим.  

Я понимаю, что после таких рассуждений меня кто-нибудь пренебрежительно назовет гуманитарием. Нет проблем, я не обижусь, потому что гуманитарии - это и не чудики, и не лирики. Мы гуманитарии мыслим рационально. Таким образом, здесь я начинаю вовсе не вечный «спор физиков и лириков» - и те и другие к ставкам обычно равнодушны.

Итак, успех в любой интеллектуальной игре заключается в логическом понимании сути ее правил. Как раз именно логическим мышлением, способностью выделить главное из частного, нередко математики и обделены. На самом деле, достаточно уметь считать до десяти, чтобы обыгрывать большинство технарей в любую интеллектуальную игру. Я регулярно обыгрываю их в карты, хотя по математике и физике всегда имел весьма посредственные оценки. Правда, я учился в физико-математической школе, где до десяти меня  считать все-таки научили хорошо. Конечно, математик математику рознь, но, например, история такой интеллектуальной игры как шахматы показывает, что чаще там преуспевали вовсе не математики - филологов и тех больше наберется.

Если собственно логике научить весьма проблематично, то понимание основных статистических законов игры нам поможет лучше разбираться в ее правилах и наших возможностях. На самом деле игроку необходимо понять буквально азы статистики, но эти азы он должен действительно хорошо усвоить. Так сложилось, что в своей профессиональной деятельности я успешно решаю некоторые практические задачи именно с помощью анализа статистических данных. При этом скажу честно, если я пытаюсь читать любой серьезный учебник по статистике, то мне становится дурно. По сути, для решения любых статистических задач нам совсем не обязательно четко понимать, как выведена та или иная формула. Нам важно лишь то, где мы сможем ее корректно применить.

В последнее время на форумах многие, в том числе и серьезные игроки, задумываются над вопросами возможности учета статистики в ставках (например, дискуссия здесь). Стратегия «ныряй, там не глубоко» для многих не слишком привлекательна. Конечно, также интересуются статистикой и толи недоучившиеся, толи, наоборот, переучившиеся математики. К последним отнесем некого Владимира Полянского (он же Azzart), который активно несет бред в массы, эффектно искря длинными формулами. Чтобы нагляднее показать суть статистических проблем, творчество этого «гиганта мысли» и некоторых других персонажей я проведу ниже по тексту красной нитью.

В этой статье мы последовательно разберемся в решении следующих двух статистических задач:

- оценка эффективности игры (тестирование) найденных статистических закономерностей;

- оценка эффективности творчества игрока (или каппера).

 

Азы статистики

Для начала я вынужден ввести несколько азбучных статистических истин. Я все постараюсь излагать просто, на предельно возможном бытовом уровне. Сразу предупрежу, что никаких сложных для понимания методов мы рассматривать здесь не будем, для ставок эта информация явна избыточна. Однако совсем без формул нам обойтись все равно не удастся. Подозреваю, что ниже вообще приведен мой самый заумный материал по ставкам, зато поняв его, серьезные игроки смогут повысить эффективность своей игры.

Каждый игрок понимает, что главной величиной для него является средний доход (расход), который он получает, сделав серию единичных ставок. Сделав большое количество ставок, и получив по ним некоторый усредненный результат, можно прогнозировать близкий результат на следующей длинной серии. То есть при каждом последующем испытании наиболее вероятно (ожидаемо) появление именно среднего значения, которое будем называть математическим ожиданием:

М(х) = ∑x i / n , где

x i –единичное значение выборки;

n - количество испытаний.

 

Очевидно, что чем больше мы имеем точечных событий, тем с большей достоверностью мы можем представить истинное распределение, так называемой генеральной выборки. Это кстати даже проверено на практике одним терпеливым математиком, бросавшим для доказательства 42000 раз монетку. Вместе с тем, возможности проведения большого количества экспериментов, как в опыте при бросании монетки, обычно не существует. Поэтому наши точечные данные с некоторой погрешностью характеризуют некое мифическое генеральное распределение. Поэтому, для оценки размаха значений около М(х) используют еще две статистических характеристики случайных величин: дисперсию σ2 и ее положительный квадратный корень – стандартное отклонение σ. Последнюю рассчитывают так:

σ  =

 

 

 Если кому-то вдруг формула также как и мне кажется излишне сложной, не волнуемся: сами мы ее считать не собираемся. Это не наше гуманитарное дело - для этого есть всемогущийExcel (жмем – «вставка – функция – статистические – ДИСП или СТАНДОТКЛ) или для сильно продвинутых какой-нибудь специальный статистический пакет (Stat, Statgraf и др.).

Теперь очень важный момент. Часто нас в литературе по статистике пугают термином «нормальное распределение». Практически все статистические выкладки в учебниках делаются в предположении, что распределение анализируемых величин близко к нормальному. На практике в качестве точечных оценок чаще всего используют распределение Стьюдента, которое приближается к нормальному при бесконечным количестве испытаний.

Разработаны специальные методики проверки закона распределения на его нормальность, однако это для нас слишком сложно. Давайте сразу договоримся, что для нас гуманитариев, для нормального распределения (Стьюдента) достаточно 2-х условий: симметрии распределения относительно М(х) и пика значений в районе М(х) (максимальная плотность). Если условия выполняются, то мы можем пользоваться всеми рекомендуемыми для распределения Стьюдента формулами.

Подозреваю, что для большинства ничего нового я пока не открыл. Но думаю, что новое уже где-то на подходе.

 

Тестирование закономерностей

Итак, все игроки надеются открыть какую-то свою приносящую постоянный доход стезю, о которой конечно не должны знать букмекеры. Игрок либо интуитивно, либо целенаправленно ищет закономерности, что команды типа А, чаще всего выигрывают у команд типа В. Что ж это весьма разумное и похвальное желание. Найти такую закономерность можно путем анализа большого объема случайных данных, что некоторые и делают. Результаты добычи такой «охоты» американцы с юмором называются angles. Действительно, без божьей помощи нам такую приносящую прибыль систему точно не найти. Однако то, что приносило прибыль в прошлом лишь по воле случая, точно не будет работать в будущем.

Конечно, сказать однозначно на все 100% добрый наш angles или не очень до проставления ставок мы узнать не можем. Иуда тоже вроде сначала ангелом прикидывался. Значит, прежде чем ставить на angles деньги мы должны вначале оценить на вероятностном уровне случайно или закономерно работала игровая схема.

Приведу пример такой схемы из творчества Дж.Миллера, который в 1986 году предложил систему игры на тоталах «Даже не думай». В ней была приведена статистика тоталов на американский футбол (сезонов НФЛ с 1981 по 1985 год и  USFL с 1983 по 1985 годы). На анализе приведенных данных обосновывалась идея ставить на “больше” против линии тоталов меньше 37 и на “меньше” против любой линии тоталов больше 51. Приведенная эффективность на 187 событиях составила 65% (121 выигрышей и 66 проигрышей). Разберем теорию на этом классическом примере.

Итак, мы имеем выборку ставок, результат которых нам известен заранее. Мы знаем, что из n=187 ставок их часть (m=121) выиграла, а часть (n-m=66) проиграла. На качественном уровне очевидно, что схема весьма прибыльна. Задачей является получение количественной вероятностной оценки, допускающей случайность полученного результата.

Ответим на вопрос: можем ли мы это отождествить условия задачи с распределением Стьюдента? Ответ: нет. В данном случае распределение явно не подходит под наши критерии нормальности. Здесь мы на вероятностной шкале имеем дело с двумя «столбами» возможных результатов ставки: либо выиграли - «+1», либо проиграли - «-1». Даже третьего нам здесь не дано. Такое распределение называется биномиальным и имеет четкое однозначное решение. Для этого надо лишь знать формулу Я.Бернулли:

 

Pn(m)=

n!× Pm(1-P) n-m  

,  где P – вероятность события

m!(n-m)!

 

Очевидно, что если никаких закономерностей нет, то на бесконечном количестве испытаний количество выигрышей и проигрышей ставок должно распределиться поровну (m=n-m=n/2), что соответствует  вероятности Р=0.50. Эта оценка выступает у нас в качестве альтернативной нашей успешности ставок 121 из 187. Подставив Р=0.50 в формулу Бернулли, мы можем оценить вероятность наступления всех возможных результатов (в нашем случае от 0 до 187 успешных ставок). Тогда мы можем рассчитать суммарную вероятность того, что при случайном распределении успешность ставок будет не меньше, чем m=121:

P(m≥121)=P(187)+P(186)+…+P(122)+P(121)=0,000035

 

Как я смог рассчитать по формуле Бернулли полученный результат?  Буквально за секунды, обратившись к вероятностному калькулятору в Excelе. Жмем – «вставка – функция – статистические – БИНОМРАСП (120;187;0,5;ИСТИНА). Здесь 120 – это значение количества успехов уменьшенное на единицу; 187 – количество испытаний; 0,5 – вероятность нашего успеха в единичной ставке; ИСТИНА – показывает вероятность попадания случайным образом в заданный интервал успешности. В результате мы получаем 0,999965, что показывает нам вероятность того, что при случайном распределении (аналог - бросание монетки) будет угадано не более чем 120 (менее, чем 121) исходов из 187. Искомую вероятность того, что будет угадано более 120 (не менее 121) исходов найдем как:

1-0,999965=0,000035.

 

Полученные тысячные доли процента 0,0035% - это вероятностная оценка того, что результат 121 из 187 может быть случайным. В случае, если полученный результат был близок к 50%, можно было бы говорить о том, что перевеса при длительной игре нет ни у игрока, ни у букмекера. Ошибка серьезно превысила бы 50% уровень в случае убыточно игровой схемы.

В нашем случае можно сделать уверенный вывод, что тестируемая игровая схема Миллера «Даже не думай» с ничтожным допуском ошибки эффективна. Причем это обусловлено какими-то явно неслучайными факторами. Очень важно, что Миллер логически нашел данную закономерность, а не получил ее путем перетасовки цифр. У него заранее была идея, что тоталы «37» и «51» являются последними «ключевыми» в американском футболе, за пределами которых вероятности убывают скачкообразно. Помимо этого, я думаю, что здесь также проявляется и более глобальный фактор. Букмекерам в результативных видах спорта просто сложнее прогнозировать именно экстремально большие и малые тоталы, исходя из скудности статистики по ним.

Настоящая проверка для любой системы заключается в том, как она покажет себя после того, как о ней узнал игрок. Еще мудрый В.И. Ленин нам твердил с броневика: «Практика – есть критерий истины». Система «Даже не думай» успешно показала себя в последующий после прогноза период (1986-90 гг). – 74 выигрыша из 119. Практика подтвердила, что результат оказался не случайным.

Для наглядности расчета вероятностей по формуле Бернулли и контроля их результатов приведу небольшую таблицу, по которой можно для ключевых наборов исходов событий оценить вероятности случайного попадания (редкости) результатов последовательно в диапазоны менее 1%, 5% и 10%.

 

для 20 исходов

Успешность игровой схемы

16 из 20

15 из 20

14 из 20

%,  случайности результата

0,6

2,1

5,8

 

для 50 исходов

Успешность игровой схемы

34 из 50

31 из 50

30 из 50

%,  случайности результата

0,8

5,9

10,1

 

для 100 исходов

Успешность игровой схемы

63 из 100

59 из 100

57 из 100

%,  случайности результата

0,6

4,4

9,7

 

для 200 исходов

Успешность игровой схемы

117 из 200

113 из 200

110 из 200

%,  случайности результата

1,0

3,8

8,9

 

для 500 исходов

Успешность игровой схемы

277 из 500

269 из 500

265 из 500

%,  случайности результата

0,9

4,9

9,7

 

для 1000 исходов

Успешность игровой схемы

538 из 1000

527 из 1000

521 из 1000

%,  случайности результата

0,9

4,7

9,7

 

 

В книге «Ставки на спорт по-умному» Стэнфорд Вонг приводит данные для случайности результатов 1%, 0.1%, 0.01%, аналогичные вышеприведенной таблице и рекомендует «использовать уровень значимости, который предполагает появление данного результата чисто случайным образом, как события, имеющего вероятность 1 к 1000». Таким образом, С. Вонг считает, что уровень в 5%, применимый в большинстве статистических задач почему-то является слишком завышенным для принятия решений в ставках на спорт.

Мне это утверждение для игровых систем кажется не только абсолютно необоснованным, но и даже в корне абсурдным. Очевидно, что большинство даже успешных игроков делают ставки, допуская гораздо большие риски. Лично я готов делать любые ставки, где вероятность выигрыша в длительной перспективе будет 52%, также рассуждают и букмекеры, и вообще весь игорный бизнес. Это аксиома игры. Думаю, что в лице С. Вонга говорит вовсе не практик, а математик (ставим Вонгу за это минус). Мое мнение, что уровень 5% - это очень даже надежно. Но здесь есть одна оговорка: прежде чем ставить, необходимо объяснить самому себе причину столь хорошей работы игровой схемы. Если логичное объяснение как в схеме «Даже не думай» Миллера есть, то можно «нырять». Еще раз подчеркну, что очень важным здесь является то, что Миллером еще в 1986 г. был логично объяснен полученный результат. Схемы типа «играют в синих майках и выигрывают» всегда прекращают работать, как только игрок проставил реальные деньги на синих.

 

Тестирование игровых схем с заданным КЭФом

Выше мы разобрали примеры без денежной составляющей, рассматривая игровые схемы без учета КЭФов. Вышеизложенный подход является аналогом равновероятных событий и его можно сопоставить с событиями с КЭФом=2, где точка безубыточности игрока составляет 50%. Очевидно, что КЭФы могут быть любыми (КЭФ≠2), что необходимо учитывать при анализе игровых схем на деньги. Первоначально, рассмотрим самый простой случай, когда все события играются с одинаковым КЭФом. Такими событиями являются ставки на фору и тотал. Поэтому удобно рассмотреть их на том же примере тоталов Миллера. Все выводы мы будем делать, анализируя игру на одинаковую сумму S каждой ставки (финансовая стратегия - флэт). Пускай на все тоталы, букмекерами установлен КЭФ=1.9. Как же учесть здесь корректно комиссию букмекера?

Думаю оптимальным здесь является следующий способ. Давая ставку с КЭФом=1.9, букмекер фактически предлагает сыграть событие исходя из точки безубыточности игрока 52,6%:

1/КЭФ=1/1.9=0,526

 

Чтобы быть в плюсе игрок должен угадывать более 52,6% результатов, иначе в плюсе уже будет букмекер. Фактически игрок и букмекер встали здесь по разные стороны от вероятности 52,6%, поэтому ее можно рассматривать как наиболее вероятное значение исхода подобных событий. Значит в формулу Бернулли необходимо подставить уже не Р=0,50 как при КЭФе=2, аР=0,526. Опять воспользуемся Excelем, рассчитав вероятность угадывания 121 исходов из 187 с учетом новой точки безубыточности. Жмем – БИНОМРАСП (120;187;1/1,9;ИСТИНА). Результат равен 0,999675. Тогда 1-0,999443=0,000557. Таким образом, финансовый успех данной игровой схемы по-прежнему сверх вероятен. Вероятность случайности результатов хотя и кратно выросла, но все равно очень низка (0,06%). Значит сюда можно смело нырять, глубина нами проверена.

А теперь вспомним про мудреца-математика В.Полянского. Им после долгих вычислений (он применил функцию Лапласа) сделан вывод, что при среднем КЭФе=1.99 результат 43 из 75 с вероятностью 99% является случайным. Заметим, что доход игрока при проставленных 75$ составит 10.6$, что очень даже не плохо. Конечно не надо никаких формул, чтобы усомниться в удивительном утверждении Полянского.

Чтобы не быть голословным, проверим по формуле Бернулли: БИНОМРАСП (42;75;1/1,99;ИСТИНА). Результат равен 0,867. Тогда  1-0,867=0,133. Результат случайности полученного результата 13.3% не так уж и плох и, конечно, несколько меньше 99%. Причину, почему нельзя использовать методы типа функции Лапласа, мы узнаем в следующем разделе.

Аналогично можно рассчитать схемы и с КЭФом>2, принцип действий здесь абсолютно такой же. Пусть мы получили успешность 34 из 100 при КЭФе=3: БИНОМРАСП (33;100;1/3;ИСТИНА). Результат 1-0,519=0,481. В этой ситуации нет статистического преимущества игровой схемы над линией букмекера (ее доходность всего 2$ при проставленных 100$). Это же мы наблюдаем и по результатам теста.    

 

Распределение Стьюдента и t-таблицы

В противовес вышеприведенному подходу наиболее легким кажется применить известный в статистике метод, основанный на определении α уровня значимости из таблиц t-распределения Стьюдента.

Распределение Стьюдента позволяет построить так называемый доверительный интервал Lдля вычисленной оценки средней М(х). При этом, обозначив через α уровень значимости, можно оценить интервал [М(х)-L ; М(х)+L] в который точечная оценка М(х) попадет с вероятностью 1-α . При технических расчетах наиболее часто используют значение статистической значимости 10%. Задавшись таким уровнем значимости, можно найти такое значение L, для которого в интервалы больше М(х)+L и меньше М(х)-L попадет соответственно по α/2=5% точечных результатов (5%+5%=10%). Применительно к оценке успешности конкретных игровых схем в ставках, уровень значимости α=10%, говорит о том, что приблизительно 5% стратегий будут случайным образом лучше, чем заданный результат в пределах рассчитанного интервала.

Именно такой подход реализован, например, в статье Статья Андрея Смирнова "Определение эффективности игровой системы методами теории вероятностей". В статье, на первый взгляд достаточно логично предлагается оценивать, с какой вероятностью ошибка определения среднего не превысит заданной величины. А.Смирнов предлагает, рассчитав tр, найти доверительный интервал для заданного α.. Апофеозом предлагаемой методики является вычитание (откладывание) двух стандартных отклонений от М(х). У кого меньше результат, тот играет лучше. Рассчитать доверительный интервал, конечно, совсем не проблема (опция вExcelе – ДОВЕРИТ). Но никакого смысла в этом, как мы скоро убедимся, нет.

Даже в самых простых учебниках по статистике указано, что задача определения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии (стандартного отклонения) решена только для случая нормального распределения случайной величины. Кстати в статье А.Смирного, который по иронии судьбы, видимо как раз и является вузовским преподавателем математики, это косвенно тоже проскальзывает. Мы раньше как гуманитарии договорились, что понимаем закон весьма упрощенно: симметрия и максимум плотности в М(х). Из нижеследующего рисунка очевидно, что оба условия при анализе статистики ставок здесь не выполняются в явном виде. 

 

 

а

 

б

 

Рис.1. Гистограммы распределения проставленных денег и их аппроксимация нормальным распределением при игре а - с КЭФом=1.15; б – с  КЭФом=2.0.

 

Гистограммы на рисунке иллюстрирует творчество двух игроков, сделавших каждый по 50 ставок. Игрок Фавориткин, играя все ставки с КЭФом=1.15, получил успешность 46 ставок из 50. Доходность Фавориткина 2.9$ при проставленных 50$. Предпочитающий договую стратегию игрок Бобиков, при КЭФе=2 получил 28 успехов из 50. Доходность Бобикова выше 6$ при проставленных 50$. Конечно, для нас предпочтительнее было бы оказаться на месте Бобикова, ведь он выиграл больше денег. А по Смирнову, все оказывается в точности до наоборот.

Рассчитав при α=0.05 доверительный интервал, для Фавориткина мы получим 0.058±0.087. Это для Смирнова будет означать, что с 90% вероятностью его убыток при длинной игре не будет больше чем -0.029=0.058-0.087. Для Бобикова же все даже хуже. Для него мы получаем 0.012±0.278, и возможный убыток -0.266=0.012-0.278. Логика здесь ущербна сразу с двух сторон. Во-первых, как-то забывается, что потенциальный доход догового игрока значительно выше, ведь стандартное отклонение может пойти и в положительную сторону.

Во-вторых, только для нормального закона справедливо, что в диапазон [М(х)±σ] попадает 68% всех возможных значений, а в диапазон [М(х)±2σ] - 95%. Поэтому только при распределении близком к нормальному можно пользоваться таблицами Стьюдента и определять по ним доверительные интервалы. Аналогично абсолютно неправомерно пользоваться функцией Лапласа, потому что оно выведено только исходя из условия нормального распределения. Прямым доказательством последнего является глупый вывод расчетов В.Полянского в предыдущем разделе.

Распределение денежных сумм в ставках при игре флетом даже теоретически не может быть нормальным, потому что за одну ставку мы проигрываем всегда одну и ту же сумму.  Все эти примеры показывают, что большинство математиков очень далеки от решения практических задач, теоремы они выводить научились, а вот собственно с мышлением у них проблемки.

Еще до кучи можно блеснуть эрудицией и здесь упомянуть об χ2–распределение, которое как раз можно применять при распределении отличном от нормального. Именно этот метод используется в математике в случаях, когда распределение не известно. Но это явно не для моего гуманитарного ума. К тому же вид распределения как раз нам известен, оно биномиальное.

 

Тестирование игровых схем с различными КЭФами

Игра на различных КЭФах возникает в случае, когда ставки делаются на результаты событий (П1; Х; П2). Именно на результат события, а не на фору или тотал, ставят большинство, по крайней мере, европейских игроков. Поэтому в ставках ситуация, когда в игровой схеме участвуют события с самыми различными КЭФами, наиболее типична. При этом, у нас возникают проблемы с использованием формулы Бернулли. Для тестирования эффективности игры формулой Бернулли невозможно воспользоваться, так как в ней для всех событий должна быть задана постоянная (одинаковая) вероятность.

Однако формула Бернулли – это все лишь частный случай более фундаментальной формулы производящей функции, для которой можно рассчитать вероятности событий при биномиальном распределении. Эта формула выглядит так:

φn(z)=(P1z+(1-P1))(P2z+(1-P2))...(Pnz+(1-Pn))

Здесь вероятность наступления события Pn(m) равна коэффициенту в разложении производящей функции при zm. Что тут скажешь – непростая формула, никто ведь и не говорил, что будет легко. На самом деле все не так уж сложно, что поясним на следующем простом примере.

Пусть мы имеем две ставки (n=2), первую с КЭФом=10, вторую с КЭФом=1.01. Рассчитаем вероятности безубыточности обеих ставок: 

P1=1/10 =0.10 ; P2=1/1.01=0.99

По формуле производящей функции тогда мы имеем:

φ2(z)= (0.10z+(1-0.10))(0.99z+(1-0.99))= (0.10z+0.90)(0.99z+0.01)

Теперь самое время перевести на русский язык мудреный термин «разложение функции». Это всего лишь перемножение двух наших многочленов, что нам позволяет избавится от скобок. Получаем:

 φ2(z)=0.099z2+0.892z+0.009

Так вот получив последнее выражение, мы уже определили все вероятности. Они имеют следующие значения: сыграют обе (m=2) наших ставки - 0.099 (коэффициент при z во 2-й степени); хотя бы одна (m=1) из двух - 0.892 (коэффициент при z в 1-й степени), все проиграют (m=0) - 0.009 (коэффициент при z в 0-й степени). Для полной группы всех несовместных событий сумма всех вероятностей должна быть равна единице, это действительно так:

0.099+0.892+0.009=1

Таким образом, у нас есть принципиальная возможность, ориентируясь на КЭФы, найти вероятности распределения исходов любых событий. Здесь сразу необходимо решить один интересный вопрос. Ведь нас как игрока интересуют не события, а деньги. Например, при игре флетом, игроку выгоднее, чтобы прошла ставка с выигрышем дога и проиграла ставка на фаворита, чем наоборот. В первом случае игрок в большом плюсе, во втором в минусе. Однако с точки зрения оценки эффективности игры (квалификации игрока), эти события эквивалентны.

В первом случае, хотя игрок и нашел перспективную ставку с большим КЭФом, ему все же не хватило ума пропустить проигравшую ставку за маленький КЭФ. Если игрок поставил обе ставки на одинаковые суммы (флетом), то это можно рассматривать лишь как его везение. Очевидно, что в реальной игре подобные ставки флетом проставляться не будут, на ставку с высоким КЭФом пойдет гораздо меньше денег. Значит, мы можем сделать следующий вывод. Не важно, с каким конкретным КЭФом прошли ставки, важно какие ставки сделал игрок, и сколько из них сыграло. Именно этот критерий должен определять эффективность игры, и именно его мы оцениваем формулой производящей функции.

Плохо для нас здесь только одно, у метода оценки производящей функции есть один, но зато большой  минус – громоздкость вычислений. Для расчетов двух или трех событий достаточно обычного калькулятора. Для случая расчетов до 30-ти событий, я могу посоветовать программу Mathcud, которая позволяет перевести многочлены со скобками в необходимый нам вид. Лично у меня это занимает всего 10-15 минут, но лишь только потому, что есть навык вычислений. А что нам делать, если событий еще больше?

Предлагаю такой приближенный метод. Мы вычисляем, среднюю вероятность безубыточности игрока и подставляем ее в формулу Бернулли. Чтобы показать, применимость подхода продемонстрирую его на следующем примере. Пусть мы имеем 20 ставок: по 4-ре соответственно с КЭФом=1.2; с КЭФом=1.5; с КЭФом=1.8; с КЭФом=2.2; с КЭФом=3.0. Вероятности безубыточности для этих КЭФов составляют 0.83; 0.67; 0.56; 0.45; 0.33. Тогда средняя точка безубыточности для 20 ставок составит 0,57. Мной были проведены вероятностные расчеты по формуле производящей функции для истинных вероятностей и по формуле Бернулли, принимая среднюю вероятность Р=0.57.Мы видим, что вероятностные распределения производящей функции и формулы Бернулли практически совпадают. В обоих случаях мы наблюдаем максимумы вероятностей при 11-12 успешных ставках из 20. Наибольшие различия наблюдаются на концах распределений. При расчете по формуле Бернулли распределение является более растянутым.

Оценим количественно сходимость функций, рассчитав вероятность случайного получения 15-ти успехов из 20-ти по обеим формулам. Полученные результаты сопоставимы, в первом случае вероятность ошибки - 6.3%, во втором – 7.8%.

Таким образом, результат показывает принципиальную возможность расчета любой комбинации коэффициентов, путем последовательного нахождения по КЭФам средней вероятности безубыточности игры и дальнейшего его использования в формуле Бернулли. Это тем более рационально в связи с тем, что обычно игроки ставят примерно одинаковые КЭФы на все ставки, что еще более снижает вероятность погрешности метода. Давайте этим пользоваться на практике.